Prozentsatz berechnen

Der Prozentsatz gibt an, wie groß ein Anteil im Verhältnis zum Ganzen ist. Er wird in Prozent angegeben.

Die drei wichtigen Begriffe

In der Prozentrechnung unterscheidet man immer zwischen dem Ganzen, dem Anteil und der Prozentangabe.

Grundwert G das Ganze
entspricht 100 %
Prozentwert W der Anteil
ein Teil vom Ganzen
Prozentsatz p % der Anteil in Prozent
gesucht bei dieser Aufgabe
\[ p\% = \frac{W}{G} \]

Schritt-für-Schritt-Vorgehen

Grundwert G erkennen

Frage: Was ist das Ganze?

Der Grundwert ist immer die Gesamtmenge. Er entspricht 100 %.

Beispiel: Insgesamt gibt es 10 Mädchen. Also gilt: \(G = 10\).

Prozentwert W erkennen

Frage: Welcher Teil vom Ganzen ist gemeint?

Der Prozentwert ist der Anteil, der betrachtet wird.

Beispiel: 7 Mädchen mögen Pferde. Also gilt: \(W = 7\).

Formel aufschreiben

Wenn Grundwert und Prozentwert gegeben sind, berechnet man den Prozentsatz so:

\[ p\% = \frac{W}{G} \]

Werte einsetzen

Setze den Prozentwert oben in den Bruch und den Grundwert unten in den Bruch.

\[ p\% = \frac{7}{10} \]

In Hundertstel umwandeln

Prozent bedeutet „von Hundert“. Deshalb wird der Bruch auf den Nenner 100 gebracht.

\[ p\% = \frac{7}{10} = \frac{70}{100} \]

Prozentsatz ablesen

Wenn der Nenner 100 ist, kann man den Prozentsatz direkt ablesen.

\[ p\% = \frac{70}{100} = 70\,\% \]

Kurzlösung

Von 10 Mädchen mögen 7 Mädchen Pferde. Wie viel Prozent sind das?

Grundwert: \(G = 10\)
Prozentwert: \(W = 7\)
\[ p\% = \frac{W}{G} \] \[ p\% = \frac{7}{10} = \frac{70}{100} = 70\,\% \]
Ergebnis: 7 von 10 Mädchen sind 70 %. Also mögen 70 % der Mädchen Pferde.

Weitere Aufgabe

Orang-Utans leben im Durchschnitt etwa 50 Jahre. Die Jungen bleiben etwa 8 Jahre bei ihren Eltern.

Grundwert bestimmen

Das Ganze ist die gesamte Lebensdauer.

\(G = 50\)

Prozentwert bestimmen

Der Anteil ist die Zeit, die die Jungen bei ihren Eltern bleiben.

\(W = 8\)

Prozentsatz berechnen

\[ p\% = \frac{W}{G} \] \[ p\% = \frac{8}{50} = \frac{16}{100} = 16\,\% \]
Ergebnis: Orang-Utan-Junge verbringen etwa 16 % ihres Lebens bei ihren Eltern.

Vergleich mit Menschen

Beim Menschen liegt die durchschnittliche Lebenserwartung bei etwa 80 Jahren. Kinder verlassen das Elternhaus ungefähr mit 24 Jahren.

\[ p\% = \frac{W}{G} \] \[ p\% = \frac{24}{80} = \frac{30}{100} = 30\,\% \]
Ergebnis: Menschen verbringen nach diesen Angaben etwa 30 % ihres Lebens im Elternhaus.

Merke

  • Der Grundwert G ist das Ganze.
  • Der Prozentwert W ist der Anteil.
  • Der Prozentsatz p % sagt, wie groß der Anteil in Prozent ist.
  • Beim Berechnen steht der Prozentwert im Zähler und der Grundwert im Nenner.
\[ p\% = \frac{W}{G} \]

Heftaufschrieb:
7.3 Prozentsatz berechnen

Merke

Den Prozentsatz \(p\%\) kann man mit dem Dreisatz oder mit der Formel berechnen.

\[ p\% = \frac{W}{G} \]
Grundwert G das Ganze
entspricht 100 %
Prozentwert W der Anteil
Teil vom Ganzen
Prozentsatz p % Anteil in Prozent

Beispiel

Beim Kauf einer Hose zu 40 € erhält Lea 7 € Preisnachlass. Wie viel Prozent sind das?
1. Aufgabe verstehen

Die Hose kostet ursprünglich 40 €. Das ist das Ganze. Lea erhält 7 € Preisnachlass. Das ist der Anteil.

Grundwert: \(G = 40\,€\)
Prozentwert: \(W = 7\,€\)
Gesucht: \(p\%\)
2. Lösen mit dem Dreisatz

Beim Dreisatz geht man zuerst vom Ganzen auf eine Einheit und danach auf den gesuchten Anteil.

Lösen mit dem Dreisatz:
:40⤺
·7⤺
Preis in € Anteil
40 100 %
1 2,5 %
7 17,5 %
⤻:40
⤻·7
Erklärung:
Von 40 € auf 1 € teilt man durch 40. Deshalb teilt man auch 100 % durch 40.

Von 1 € auf 7 € multipliziert man mit 7. Deshalb multipliziert man auch 2,5 % mit 7.
Mit dem Dreisatz erhält Lea 17,5 % Preisnachlass.
3. Dreisatz als Rechnung

Die Rechnung aus der Tabelle sieht so aus:

\(40\,€ \rightarrow 100\,\%\)
\(1\,€ \rightarrow 100\,\% : 40 = 2{,}5\,\%\)
\(7\,€ \rightarrow 2{,}5\,\% \cdot 7 = 17{,}5\,\%\)
Ergebnis: \(7\,€\) von \(40\,€\) entsprechen \(17{,}5\,\%\).
4. Lösen mit der Formel

Man kann den Prozentsatz auch direkt mit der Formel berechnen.

\[ p\% = \frac{W}{G} \]

Nun setzen wir ein:

\[ p\% = \frac{7}{40} \]
\[ p\% = 0{,}175 \]
\[ 0{,}175 = 17{,}5\,\% \]
Auch mit der Formel erhält Lea 17,5 % Preisnachlass.
5. Antwortsatz
Antwort: Lea erhält 17,5 % Preisnachlass.

Ins Heft übernehmen

Beispiel: Beim Kauf einer Hose zu 40 € erhält Lea 7 € Preisnachlass. Wie viel Prozent sind das?

\(G = 40\,€\), \(W = 7\,€\), gesucht: \(p\%\)

Dreisatz:

\(40\,€ \rightarrow 100\,\%\)

\(1\,€ \rightarrow 2{,}5\,\%\)

\(7\,€ \rightarrow 17{,}5\,\%\)

Formel:

\[ p\% = \frac{W}{G} = \frac{7}{40} = 0{,}175 = 17{,}5\,\% \]

Antwort: Lea erhält 17,5 % Preisnachlass.

Kurze Zusammenfassung

So gehst du vor:

1. Bestimme den Grundwert \(G\): Was ist das Ganze?

2. Bestimme den Prozentwert \(W\): Welcher Anteil ist gemeint?

3. Berechne den Prozentsatz mit \(p\% = \frac{W}{G}\).

4. Wandle die Dezimalzahl in eine Prozentzahl um.